Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án chi tiết.

$1D. $1

Lời giải

Đặt USD t = { { 2 } ^ { x } } > 0 \ Leftrightarrow { { 4 } ^ { x } } = { { \ left ( { { 2 } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } = { { t } ^ { 2 } } USD và USD a = { { 3 } ^ { m } } USD nên phương trình đã cho trở thành :
USD { { t } ^ { 2 } } + t + 4 = a \ left ( t + 1 \ right ) \ Leftrightarrow { { t } ^ { 2 } } – \ left ( a-1 \ right ) t + 4 – a = 0 USD ( * ) .
Yêu cầu bài toán USD \ Leftrightarrow $ ( * ) có hai nghiệm dương phân biệt USD { { t } _ { 1 } }, { { t } _ { 2 } } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } \ Delta > 0 \ \ { } S = { { t } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } > 0 \ \ { } P = { { t } _ { 1 } } { { t } _ { 2 } } > 0 \ \ \ end { array } \ right. USD

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}-4\left( 4-a \right)>0 \\  {} a-1>0;4-a>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+2\text{a}-15>0 \\  {} 1

Chọn D.

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình
USD { { 25 } ^ { x } } – m { {. 5 } ^ { x + 1 } } + 7 { { m } ^ { 2 } } – 7 = 0 USD có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu thành phần ?

A. 7                                    B. 1                                         C. 2                                    D. 3

Lời giải

Ta có USD { { 25 } ^ { x } } – m { {. 5 } ^ { x + 1 } } + 7 { { m } ^ { 2 } } – 7 = 0 \ Leftrightarrow { { \ left ( { { 5 } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } – 5 m { {. 5 } ^ { x } } + 7 { { m } ^ { 2 } } – 7 = 0 USD
Đặt USD t = { { 5 } ^ { x } } > 0 USD nên phương trình trở thành : USD { { t } ^ { 2 } } – 5 mt + 7 { { m } ^ { 2 } } – 7 = 0 USD ( * ) .
Với mỗi nghiệm USD t > 0 USD của phương trình ( * ) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình bắt đầu. Do đó, nhu yếu bài toán tương tự phương trình ( * ) có hai nghiệm dương phân biệt .

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} \Delta >0 \\  {} S>0 \\  {} P>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\  {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 28-3{{m}^{2}}>0 \\  {} m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3 \right\}$ là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.

A. 2                                    B. 3                                         C. 0                                    D. 1

Lời giải

Đặt USD t = { { 2 } ^ { x } } > 0 USD nên phương trình đã cho trở thành : USD { { t } ^ { 2 } } – 2 mt + 2 m = 0 USD ( * ) .
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt USD \ Leftrightarrow $ ( * ) có hai nghiệm dương phân biệt USD { { t } _ { 1 } }, { { t } _ { 2 } } USD .
USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } \ Delta > 0 \ \ { } S = { { t } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } > 0 \ \ { } P = { { t } _ { 1 } } { { t } _ { 2 } } > 0 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } 4 { { m } ^ { 2 } } – 8 m > 0 \ \ { } 2 m > 0 \ \ { } 2 m > 0 \ \ \ end { array } \ right. { } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } \ left [ \ begin { array } { } m > 2 \ \ { } m < 0 \ Leftrightarrow m > 2 \ \ \ end { array } \ right. \ \ { } m > 0 \ \ \ end { array } \ right. USD .
Ta có USD { { t } _ { 1 } } { { t } _ { 2 } } = { { 2 } ^ { { { x } _ { 1 } } } } { {. 2 } ^ { { { x } _ { 2 } } } } = { { 2 } ^ { { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } } } = { { 2 } ^ { 3 } } = 8 = 2 m USD suy ra USD m = 4 USD ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ) .

Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.

A. $\left[ 3;4 \right]$           B. $\left[ 2;4 \right]$               C. $\left( 2;4 \right)$          D. $\left( 3;4 \right)$

Lời giải

Ta có USD { { 6 } ^ { x } } + \ left ( 3 – m \ right ) { { 2 } ^ { x } } – m = 0 \ Leftrightarrow { { 6 } ^ { x } } + { { 3.2 } ^ { x } } = \ left ( { { 2 } ^ { x } } + 1 \ right ). m \ Leftrightarrow m = \ frac { { { 6 } ^ { x } } + { { 3.2 } ^ { x } } } { { { 2 } ^ { x } } + 1 } = \ frac { { { 3 } ^ { x } } + 3 } { { { 2 } ^ { – x } } + 1 } USD
Xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { { { 3 } ^ { x } } + 3 } { { { 2 } ^ { – x } } + 1 } USD trên USD \ left ( 0 ; 1 \ right ) USD, có USD { f } ‘ \ left ( x \ right ) = \ frac { { { 3 } ^ { x } }. \ ln 3 \ left ( { { 2 } ^ { – x } } + 1 \ right ) + \ left ( { { 3 } ^ { x } } + 3 \ right ) { {. 2 } ^ { – x } } \ ln 2 } { { { \ left ( { { 2 } ^ { – x } } + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } > 0 USD

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left( 0 \right)

Vậy để phương trình $m=f\left( x \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $2Chọn C.

Ví dụ 7: Cho phương trình ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left[ -10;10 \right]$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 12                                  B. 8                                         C. 3                                    D. 17

Lời giải

Ta có USD { { 3 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } – 3 \ text { x } + m } } + 9 = { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – x + 2 } } + { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } \ Leftrightarrow \ left ( { { 3 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } – 3 \ text { x } + m } } – { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } \ right ) + \ left ( 9 – { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } \ right ) = 0 USD
USD \ Leftrightarrow { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – x } }. \ left ( { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } – 9 \ right ) – \ left ( { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } – 9 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – x } } – 1 \ right ) \ left ( { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } – 9 \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – x } } = 1 \ \ { } { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m } } = 9 \ \ \ end { array } \ right. USD
USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } { { x } ^ { 2 } } – x = 0 \ \ { } { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m = 2 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } x = 0 ; x = 1 \ \ { } g \ left ( x \ right ) = { { x } ^ { 2 } } – 2 \ text { x } + m-2 = 0 \ \ \ end { array } \ right. USD
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt USD \ Leftrightarrow g \ left ( x \ right ) = 0 USD có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1 .
USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { \ Delta } ‘ > 0 \ \ { } g \ left ( 0 \ right ) \ ne 0 \ \ { } g \ left ( 1 \ right ) \ ne 0 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { { \ left ( – 1 \ right ) } ^ { 2 } } – \ left ( m-2 \ right ) > 0 \ \ { } m-2 \ ne 0 \ \ { } m-3 \ ne 0 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } m <3 \ \ { } m \ ne 2 \ \ \ end { array } \ right. USD .

Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 3                                    B. 1                                         C. 0                                    D. 2

Lời giải

Ta có USD { { 9 } ^ { { { x } ^ { 2 } } } } – { { 2.3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } + 1 } } + 3 m – 1 = 0 \ Leftrightarrow { { \ left ( { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } } } \ right ) } ^ { 2 } } – { { 6.3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } } } + 3 m – 1 = 0 USD ( * )
Vì USD { { x } ^ { 2 } } \ ge 0 \ Leftrightarrow { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } } } \ ge { { 3 } ^ { 0 } } = 1 USD. Đặt USD t = { { 3 } ^ { { { x } ^ { 2 } } } } \ ge 1 USD nên phương trình ( * ) USD \ Leftrightarrow f \ left ( t \ right ) = { { t } ^ { 2 } } – 6 t + 3 m – 1 = 0 USD
Yêu cầu bài toán USD \ Leftrightarrow f \ left ( t \ right ) = 0 USD có nghiệm bằng 1 ; nghiệm còn lại khác 1 .

$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0\Leftrightarrow 3m-6=0\Leftrightarrow m=2$. Chọn B.

Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là

A. $m=2$                           B. $m=8$                               C. $m=4$                           D. $m=6$

Lời giải

Điều kiện : USD – 1 \ le x \ le 1 USD .
Xét USD u \ left ( x \ right ) = 1 + \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } USD, có USD { u } ‘ \ left ( x \ right ) = – \ frac { x } { \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } ; { u } ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ xrightarrow { { } } \ left \ { \ begin { array } { } \ underset { \ left [ – 1 ; 1 \ right ] } { \ mathop { \ max } } \, u \ left ( x \ right ) = 2 \ \ { } \ underset { \ left [ – 1 ; 1 \ right ] } { \ mathop { \ min } } \, u \ left ( x \ right ) = 1 \ \ \ end { array } \ right. USD .
Đặt USD t = { { 5 } ^ { 1 + \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } } \ Rightarrow t \ in \ left [ 5 ; 25 \ right ] USD nên phương trình USD \ Leftrightarrow { { t } ^ { 2 } } – \ left ( m + 2 \ right ) t + 2 m + 1 = 0 \ Leftrightarrow m = \ frac { { { t } ^ { 2 } } – 2 t + 1 } { t-2 } USD .
Do đó phương trình đã có nghiệm USD \ Leftrightarrow \ underset { \ left [ 5 ; 25 \ right ] } { \ mathop { \ min f \ left ( t \ right ) } } \, \ le m \ le \ underset { \ left [ 5 ; 25 \ right ] } { \ mathop { \ max f \ left ( t \ right ) } } \, \ overset { { } } { \ longleftrightarrow } \ frac { 16 } { 3 } \ le m \ le \ frac { 576 } { 23 } USD .

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.

Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.

Đặt USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { { { 25 } ^ { 1 + \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } } – { { 2.5 } ^ { 1 + \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } } + 1 } { { { 5 } ^ { 1 + \ sqrt { 1 – { { x } ^ { 2 } } } } } – 2 } USD. Khi đó phương trình USD \ Leftrightarrow f \ left ( x \ right ) = m USD .
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm USD f \ left ( x \ right ) USD với thiết lập Start USD – 1 USD, End 1, Step 0, 2 .
Quan sát bảng giá trị ta thấy USD f \ left ( x \ right ) \ ge f \ left ( 5 \ right ) = \ frac { 16 } { 3 } USD hay USD m \ ge f \ left ( 5 \ right ) = \ frac { 16 } { 3 } USD .
Vậy m nguyên dương bé nhất là 6 .
Ví dụ 10: Cho phương trình $\left( m+1 \right){{16}^{x}}-2\left( 2m-3 \right){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $\left( a;b \right)$. Tính $P=ab$.

A. $P=4$                           B. $P=-4$                               C. $P=-\frac{3}{2}$            D. $P=\frac{5}{6}$

Lời giải

Đặt USD t = { { 4 } ^ { x } } > 0 USD. Phương trình trở thành USD \ underbrace { \ left ( m + 1 \ right ) { { t } ^ { 2 } } – 2 \ left ( 2 m – 3 \ right ) t + 6 m + 5 } _ { f \ left ( t \ right ) } = 0 USD ( * ) .
Phương trình đã cho có hai nghiệm USD { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } USD thỏa mãn nhu cầu USD { { x } _ { 1 } } < 0 < { { x } _ { 2 } } { { 4 } ^ { { { x } _ { 1 } } } } < { { 4 } ^ { 0 } } < { { 4 } ^ { { { x } _ { 2 } } } } \ xrightarrow { { } } { { t } _ { 1 } } < 1 < { { t } _ { 2 } } USD . Yêu cầu bài toán USD \ Leftrightarrow $ ( * ) có hai nghiệm USD { { t } _ { 1 } }, { { t } _ { 2 } } USD thỏa USD 0 < { { t } _ { 1 } } < 1 < { { t } _ { 2 } } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } m + 1 \ ne 0 \ \ { } \ left ( m + 1 \ right ) f \ left ( 1 \ right ) < 0 \ \ { } \ left ( m + 1 \ right ) f \ left ( 0 \ right ) > 0 \ \ \ end { array } \ right. USD

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+1\ne 0 \\  {} \left( m+1 \right)\left( 3m+12 \right)<0 \\  {} \left( m+1 \right)\left( 6m+5 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -4Chọn A.

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình
USD { { 2 } ^ { { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } } } – { { 2 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m } } = { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } + m USD có hai nghiệm thực phân biệt ?

A. 9                                    B. 6                                         C. 16                                  D. 13

Lời giải

Ta có USD { { 2 } ^ { { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } } } – { { 2 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m } } = { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } + m \ Leftrightarrow { { 2 } ^ { { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } } } – { { 2 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m } } = 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m – \ left ( { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } \ right ) USD
USD \ Leftrightarrow { { 2 } ^ { { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } } } + { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } = { { 2 } ^ { 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m } } + 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m \ Leftrightarrow f \ left ( { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } \ right ) = f \ left ( 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m \ right ) USD ( * ) .
Xét hàm số USD f \ left ( t \ right ) = { { 2 } ^ { t } } + t USD trên USD \ left ( – \ infty ; + \ infty \ right ) USD, có USD { f } ‘ \ left ( t \ right ) = { { 2 } ^ { t } }. \ ln 2 + 1 > 0 ; \ forall x \ in \ mathbb { R } USD .
Suy ra USD f \ left ( t \ right ) USD là hàm số đồng biến trên USD \ left ( – \ infty ; + \ infty \ right ) USD nên ( * ) USD \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } = 2 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + m USD
USD \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } + m \ text { x } + m = 0 USD có hai nghiệm phân biệt USD \ Leftrightarrow \ Delta = { { m } ^ { 2 } } – 4 m > 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } m > 4 \ \ { } m < 0 \ \ \ end { array } \ right. USD .

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 12: Cho phương trình ${{e}^{m.\sin x-\cos x}}-{{e}^{2\left( 1-\cos x \right)}}=2-\cos x-m.\sin x$với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 9                                    B. 18                                       C. 11                                  D. 15

Lời giải

PT USD \ Leftrightarrow { { e } ^ { m. \ sin x – \ cos x } } + m. \ sin x – \ cos x = { { e } ^ { 2-2 \ cos x } } + 2-2 \ cos x \ Leftrightarrow f \ left ( m. \ sin x – \ cos x \ right ) = f \ left ( 2-2 \ cos x \ right ) USD
Với USD f \ left ( t \ right ) = { { e } ^ { t } } + t USD là hàm số đồng biến trên USD \ left ( – \ infty ; + \ infty \ right ) USD nên ta được USD m. \ sin x – \ cos x = 2-2 \ cos x USD
USD \ Leftrightarrow m. \ sin x + \ cos x = 2 USD có nghiệm khi USD { { m } ^ { 2 } } + { { 1 } ^ { 2 } } \ ge { { 2 } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } \ ge 3 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } m \ ge \ sqrt { 3 } \ \ { } m \ le – \ sqrt { 3 } \ \ \ end { array } \ right. USD .

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực?

A. 4                                    B. 6                                         C. 8                                    D. 10

Lời giải

Ta có USD \ sqrt { m + \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } } = { { e } ^ { x } } \ Leftrightarrow m + \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } = { { \ left ( { { e } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow { { \ left ( \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } \ right ) } ^ { 2 } } + \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } = { { \ left ( { { e } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } + { { e } ^ { x } } USD ( * ) .
Xét hàm số USD f \ left ( t \ right ) = { { t } ^ { 2 } } + t USD trên USD \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) USD, có USD { f } ‘ \ left ( t \ right ) = 2 t + 1 > 0 ; \ forall t > 0 USD
Suy ra USD f \ left ( t \ right ) USD là hàm số đồng biến trên USD \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) USD nên ( * ) USD \ Leftrightarrow f \ left ( \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } \ right ) = f \ left ( { { e } ^ { x } } \ right ) USD
USD \ Leftrightarrow \ sqrt { m + { { e } ^ { x } } } = { { e } ^ { x } } \ Leftrightarrow m + { { e } ^ { x } } = { { \ left ( { { e } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow m = { { \ left ( { { e } ^ { x } } \ right ) } ^ { 2 } } – { { e } ^ { x } } \ xrightarrow { a = { { e } ^ { x } } > 0 } m = g \ left ( a \ right ) = { { a } ^ { 2 } } – a USD .
Xét hàm số USD g \ left ( a \ right ) = { { a } ^ { 2 } } – a USD trên USD \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) USD, có USD { g } ‘ \ left ( a \ right ) = 2 \ text { a } – 1 ; { g } ‘ \ left ( a \ right ) = 0 \ Leftrightarrow a = \ frac { 1 } { 2 } USD .
Dựa vào BBT, ta thấy USD m = g \ left ( a \ right ) USD có nghiệm thực dương USD \ Leftrightarrow m \ ge g \ left ( \ frac { 1 } { 2 } \ right ) = – \ frac { 1 } { 4 } USD .

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m<10\xrightarrow{{}}$ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m+{{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt[4]{{{e}^{2\text{x}}}+1}$ có nghiệm?

A. $0B.

$0C. $\frac{1}{e}\le m<1$      D. $-1

Lời giải

Đặt USD t = \ sqrt [ 4 ] { { { e } ^ { 2 \ text { x } } } + 1 } USD, vì USD { { e } ^ { 2 \ text { x } } } > 0 \ xrightarrow { { } } t > 1 USD. Suy ra USD { { t } ^ { 4 } } = { { e } ^ { 2 \ text { x } } } + 1 \ Leftrightarrow { { \ left ( { { e } ^ { \ frac { x } { 2 } } } \ right ) } ^ { 4 } } = { { t } ^ { 4 } } – 1 \ Leftrightarrow { { e } ^ { \ frac { x } { 2 } } } = \ sqrt [ 4 ] { { { t } ^ { 4 } } – 1 } USD .
Khi đó phương trình đã cho trở thành USD m + \ sqrt [ 4 ] { { { t } ^ { 4 } } – 1 } = t \ Leftrightarrow m = t – \ sqrt [ 4 ] { { { t } ^ { 4 } } – 1 } USD ( * )
Xét hàm số USD f \ left ( t \ right ) = t – \ sqrt [ 4 ] { { { t } ^ { 4 } } – 1 } USD trên USD \ left ( 1 ; + \ infty \ right ) USD, có USD { f } ‘ \ left ( t \ right ) = 1 – \ frac { { { t } ^ { 3 } } } { \ sqrt [ 4 ] { { { \ left ( { { t } ^ { 4 } } – 1 \ right ) } ^ { 3 } } } } < 0 ; \ forall t > 1 USD
Suy ra hàm số USD f \ left ( t \ right ) USD nghịch biến trên khoảng chừng USD \ left ( 1 ; + \ infty \ right ) USD .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $0Chọn A.

Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

A. 8                                    B. 5                                         C. 6                                    D. 7

Lời giải

Ta có USD { { \ left ( \ frac { 2 } { e } \ right ) } ^ { { { x } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + 1 } } \ le { { \ left ( \ frac { e } { 2 } \ right ) } ^ { 2 \ text { x } – 3 m } } \ Leftrightarrow { { \ left ( \ frac { 2 } { e } \ right ) } ^ { { { x } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + 1 } } \ le { { \ left ( \ frac { 2 } { e } \ right ) } ^ { 3 m – 2 \ text { x } } } \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } + 2 m \ text { x } + 1 \ ge 3 m – 2 \ text { x } USD
USD \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } + 2 \ left ( m + 1 \ right ) x-3m+1 \ ge 0 ; \ forall x \ in \ mathbb { R } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } a = 1 > 0 \ \ { } { \ Delta } ‘ = { { \ left ( m + 1 \ right ) } ^ { 2 } } – \ left ( 1-3 m \ right ) \ le 0 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow – 5 \ le m \ le 0 USD .

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

A. 12                                  B. 20                                       C. 8                                    D. 4

Lời giải

Đặt USD t = { { 3 } ^ { x } } > 0 USD thì bất phương trình trở thành : USD { { t } ^ { 2 } } – mt-m+3 > 0, \ forall t > 0 USD
USD \ Leftrightarrow m \ left ( t + 1 \ right ) < { { t } ^ { 2 } } + 3 \ Leftrightarrow m < \ frac { { { t } ^ { 2 } } + 3 } { t + 1 } = f \ left ( t \ right ), \ forall t \ in \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) \ Leftrightarrow m < \ underset { \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) } { \ mathop { \ min } } \, f \ left ( t \ right ) USD . Ta có USD { f } ' \ left ( t \ right ) = \ frac { { { t } ^ { 2 } } + 2 t - 3 } { { { \ left ( t + 1 \ right ) } ^ { 2 } } } ; { f } ' \ left ( t \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } t > 0 \ \ { } { { t } ^ { 2 } } + 2 t – 3 = 0 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow t = 1 USD .

Từ BBT, suy ra $m<\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=2$. Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \mathbb{Z} \\  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 12 giá trị nguyên m. Chọn A.

Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình
USD { { 3 } ^ { 2 \ text { x } + 1 } } – \ left ( m + 3 \ right ) { {. 3 } ^ { x } } – 2 \ left ( m + 3 \ right ) > 0 USD có nghiệm ?

A. 10                                  B. 5                                         C. 19                                  D. 13

Lời giải

Đặt USD t = { { 3 } ^ { x } } > 0 USD thì bất phương trình trở thành : USD 3 { { t } ^ { 2 } } – \ left ( m + 3 \ right ) t-2m-6 < 0 USD

$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-3t-6\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=f\left( t \right)$.

Xét hàm số USD f \ left ( t \ right ) = \ frac { 3 { { t } ^ { 2 } } – 3 t – 6 } { t + 2 } USD trên USD \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) USD, có USD { f } ‘ \ left ( t \ right ) = \ frac { 3 { { t } ^ { 2 } } + 12 t } { { { \ left ( t + 2 \ right ) } ^ { 2 } } } > 0 ; \ forall t > 0 USD .
Suy ra USD f \ left ( t \ right ) USD là hàm số đồng biến trên USD \ left ( 0 ; + \ infty \ right ) \ Leftrightarrow \ min f \ left ( t \ right ) = – 3 USD .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ -10;10 \right]\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right){{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x<0$?

A. $m>\frac{2+2\sqrt{3}}{3}$                                            B. $m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$         C. $m\ge \frac{2-2\sqrt{3}}{3}$                     D. $m>-\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$

Lời giải