Khi nói tới lược đồ Hoocne (Hoocner, Hocner hay là Horner, cái tên không rõ cách gọi lắm ) hầu hết các bạn học sinh trong chúng ta đều thấy cái tên này rất quen thuộc. Vì Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một ứng dụng hay mà thầy sẽ gửi tới các bạn trong bài viết này chính là: Cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne.
You watching: Sơ đồ hoocne cho phương trình bậc 4
Khi nói tới việc chia đa thức các bạn đã được học rất kỹ trong chương trình toán trung học cơ sở ở lớp 8 với chiêu thức chia thông thường, tuy nhiên nếu vận dụng giải pháp sơ đồ Hoocne các bạn sẽ có một cách tính nhanh tuyệt vời vừa tiết kiệm ngân sách và chi phí thời hạn mà lại đúng chuẩn .
Phương pháp dùng lược đồ Hoocne
Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức USD f_ { ( x ) } USD cho đa thức USD x – \ alpha USD, khi đó ta thực thi như sau :Giả sử cho đa thức USD f_ { ( x ) } = a_0x ^ n + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + a_ { 2 } x ^ { n-2 } + … + a_ { n-1 }. x ^ 1 + a_n USD. Khi đó đa thức thương USD g_ { ( x ) } = b_0x ^ { n-1 } + b_1x ^ { n-2 } + … b_ { n-1 } USD và đa thức dư được xác lập theo lược đồ sau :
Giải thích lược đồ Hoocne:
Trong lược đồ gồm 2 hàng : Hàng trên chứa thông số của đa thức USD f_ { ( x ) } USD, hàng dưới chứa thông số tìm được của USD g_ { ( x ) } USD
Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức $f_{(x)}$ theo ẩn giảm dần và đặt số $\alpha$ vào vị trí đầu tiên của hàng 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào thì hệ số của nó coi như bằng 0 và ta vẫn phải cho vào lược đồ
Bước 2: Hạ hệ số $a_0$ ở hàng trên xuống hàng dưới cùng cột. Đây cũng chính là hệ số đầu tiên của $g_{(x)}$ tìm được, tức là: $b_0=a_0$.
Bước 3: Lấy số $\alpha$ nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.
Ta có USD b_1 = \ alpha. b_0 + a_1 USD
Quy tắc nhớ: “Nhân ngang, cộng chéo”
Bước 4: Cứ làm như vậy cho tới hệ số cuối cùng. và kết quả ta sẽ có:
USD f_ { ( x ) } = ( x – \ alpha ). g_ { ( x ) } + r USDhay USD a_0x ^ n + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + a_ { 2 } x ^ { n-2 } + … + a_ { n-1 }. x ^ 1 + a_n = ( x – \ alpha ) ( b_0x ^ { n-1 } + b_1x ^ { n-2 } + … b_ { n-1 } ) + r USD
Chú ý:
Bậc của đa thức $g_{(x)}$ luôn nhỏ hơn bậc của đa thức $f_{(x)}$ 1 đơn vị vì đa thức chia $x-\alpha$ có bậc là 1Nếu $r=0$ thì đa thức $f_{(x)}$ chia hết cho đa thức $g_{(x)}$ và $x=\alpha$ sẽ là một nghiệm của đa thức $f_{(x)}$Bậc của đa thức USD g_ { ( x ) } USD luôn nhỏ hơn bậc của đa thức USD f_ { ( x ) } USD 1 đơn vị chức năng vì đa thức chia USD x – \ alpha USD có bậc là 1N ếu USD r = 0 USD thì đa thức USD f_ { ( x ) } USD chia hết cho đa thức USD g_ { ( x ) } USD và USD x = \ alpha USD sẽ là một nghiệm của đa thức USD f_ { ( x ) } USDPhương pháp trên đây chính là cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne đó các bạn, có vẻ như hơi lằng nhằng với các số ở dạng tổng quát đúng không ? Để thấy được nó dễ hiểu hơn và thực sự rất dễ vận dụng thì tất cả chúng ta thực thi làm 1 vài bài tập vậy .
Bài tập chia đa thức bằng lược đồ Hoocne
Bài 1: Thực hiện phép chia đa thức $f_{(x)} = x^4-2x^3-3x^2+7x-2$ cho đa thức $x-2$
Hướng dẫn giải
Trước khi làm bài tập này ta có một chú ý nho nhỏ: Nếu chia cho đa thức $x-2$ thì số $\alpha=2$ nếu chia cho đa thức $x+2$ thì số $\alpha=-2$.
Dựa vào hướng dẫn ở trên thầy sẽ có lược đồ hoocner cho bài toán này như sau :
Đa thức $g_{(x)}$ tìm được ở đây chính là: $g_{(x)} = 1.x^3+0.x^2-3.x+1 = x^3-3x+1$
Thầy lý giải thêm cho các bạn nhé :
Giả sử số $\alpha=2$ là một cô gái rất đẹp + chân dài. Các hệ số mới tìm được sẽ là các Đại Gia chân đất.
See more: Trường Cao Đẳng Công Nghiệp Nam Định Thông Báo Tuyển Sinh 2021
Bước 1: Sắp xếp các hệ số của $f_{(x)}$ ở hàng 1, đặt số $\alpha=2$ vào cột 1 hàng 2, hạ hệ số đầu tiên xuống hàng 2. Hệ số đầu tiên bằng 1 (Đại gia thứ 1)
Bước 2: Đại gia thứ 1 thấy cô gái đẹp chạy tới ôm lấy, ta có 2.1. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -2 vào (tiền của đại gia).
Ta có: 2.1+(-2) = 0, được kết quả là 0 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 2)
Bước 3: Đại gia thứ 2 này được sinh ra thấy cô gái đẹp cũng chạy tới ôm lấy, ta có 2.0. Nhưng đại gia là phải có tiền, thế là họ liền chạy lên hàng trên ôm tiếp số -3 vào (tiền của đại gia), ta có: 2.0+(-3) = -3. Được kết quả là -3 mang xuống hàng dưới. (Đại gia thứ 3)
Bước 4: Cứ tiếp tục thức hiện như vậy ta có kết quả như trong lược đồ thầy trình bày bên trên.
Kết quả ta có: $x^4-2x^3-3x^2+7x-2 = (x-2)(x^3-3x+1)$
Qua ví dụ trực quan như này các bạn thấy dễ hiểu hơn rồi chứ ? Chắc chắn là dễ hiểu hơn cái lược đồ tổng quát rồi. Tuy nhiên không phải khi nào bài toán cũng nhu yếu triển khai phép chia đa thức bằng lược đồ Hoocne. Các bạn phải biết rằng những khi nào thì ta nên sử dụng lược đồ Hoocner hay vận dụng lược đồ Hoocner trong những trường hợp như thế nào ? Những bài toán như thế nào ? Thầy hoàn toàn có thể điểm danh một số ít trường hợp mà ta hoàn toàn có thể dùng ngay dưới đây .
Các bài toán sử dụng được lược đồ Hoocne
Chia đa thức cho đa thức nhanh nhấtTìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4…phương trình bậc caoPhân tích đa thức thành nhân tử…Chia đa thức cho đa thức nhanh nhấtTìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4 … phương trình bậc caoPhân tích đa thức thành nhân tử …Giờ tất cả chúng ta cùng làm thêm một bài tập nữa, bài tập về tìm nghiệm của phương trình bậc 3 nhé
Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau: $2x^3-x^2-5x-2=0$
Hướng dẫn giải
Với phương trình này các bạn hoàn toàn có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm và các bạn sẽ biết được phương trình này có 3 nghiệm là : USD x = – 1 ; x = 2 ; x = – \ frac { 1 } { 2 } USDTuy nhiên tất cả chúng ta không hề dùng máy tính để tính nghiệm và Kết luận ngay như vậy được, việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được tối thiểu 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta hoàn toàn có thể sử dụng lược đồ Hoocner để đổi khác .
Sau khi biết được 1 nghiệm nguyên của phương trình là $x=-1$, thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức $2x^3-x^2-5x-2=0$ cho đa thức $x+1$. Áp dụng hoocner ta sẽ được kết quả như sau:
Nhìn vào bảng trên ta có hiệu quả như sau :
$2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2)$
Rất nhanh phải không các bạn. Nếu sử dụng phép chia đa thức thường thì thì việc có được hiệu quả như này sẽ mất rất nhiều thời hạn để đo lường và thống kê .Biến đổi tới đây tất cả chúng ta tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này đơn thuần rồi. Cụ thể như sau :
$2x^3-x^2-5x-2=0 \Leftrightarrow (x+1)(2x^2-3x-2)=0$
$ \Leftrightarrow \left
Việc giải phương trình $2x^2-3x-2=0$ các bạn có thể sử dụng công thức nghiệm để có kết quả như trên.
See more: Lưu Trữ Trường Giang Số 7 Chau Tinh Tri, Lưu Trữ Trường Giang Số 7
Vậy phương trình có 3 nghiệm là : USD x = – 1 ; x = 2 ; x = – \ frac { 1 } { 2 } USD
Qua hai bài tập trên các bạn đã thấy một ứng dụng rất tuyệt vời của lược đồ Hoocner: chia đa thức cho đa thức. Nếu sau khi biết được cách sử dụng mà lại không dùng tới thì quả là rất lãng phí. Nói tóm lại thì Hoocner sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc học toán từ trung học cơ sở tới trung học phổ thông. Hãy bắt tay ngay vào việc rèn luyện thêm một số bài tập nữa nhé.
Chuyên mục: Chuyên mục : Blog
Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập