Phương trình trùng phương là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS. Vậy phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương lớp 9? Công thức phương trình trùng phương?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!.
Phương trình trùng phương là gì?
Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc \ ( 4 \ ) có dạng :
\( ax^4 +bx^2+c =0 \) với \( a \neq 0 \)
Chúng ta nhận thấy đây thực ra là phương trình bậc \ ( 2 \ ) với ẩn là \ ( x ^ 2 \ )
Số nghiệm của phương trình trùng phương
Cho phương trình trùng phương có dạng :
\ ( ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 \ ) với \ ( a \ neq 0 \ ) .
\ ( \ Delta = b ^ 2-4 ac \ )
Khi đó :
- Phương trình trùng phương có 1 nghiệm \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } c = 0 \ \ \ frac { b } { a } \ leq 0 \ end { matrix } \ right. \ ) và nghiệm đó \ ( = 0 \ )
- Phương trình trùng phương có 2 nghiệm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } \ Delta = 0 \ \ \ frac { b } { a } < 0 \ end { matrix } \ right. \ ) hoặc \ ( \ left \ { \ begin { matrix } \ Delta > 0 \ \ \ frac { c } { a } < 0 \ end { matrix } \ right. \ )
- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } c = 0 \ \ \ frac { b } { a } < 0 \ end { matrix } \ right. \ ) và trong đó có một nghiệm \ ( = 0 \ )
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } \ Delta > 0 \ \ \ frac { b } { a } < 0 \ \ \ frac { c } { a } > 0 \ end { matrix } \ right. \ ). Khi đó tổng \ ( 4 \ ) nghiệm \ ( = 0 \ ) và tích \ ( 4 \ ) nghiệm bằng \ ( \ frac { c } { a } \ )
- Phương trình trùng phương vô nghiệm \ ( \ Leftrightarrow \ Delta < 0 \ ) hoặc \ ( \ left \ { \ begin { matrix } \ Delta \ geq 0 \ \ \ frac { b } { a } > 0 \ \ \ frac { c } { a } < 0 \ end { matrix } \ right. \ )
Ví dụ về phương trình trùng phương lớp 9
Thí dụ 2: Cho phương trình \( mx^4 -2(m-1)x^2+m-1 =0 \)
Tìm \ ( m \ ) để phương trình
- Có nghiệm duy nhất
- Có hai nghiệm phân biệt
- Có ba nghiệm phân biệt
- Có bốn nghiệm phân biệt
Cách giải :
Ta có \ ( \ Delta ’ = ( m-1 ) ^ 2 – m ( m-1 ) = 1 – m \ )
Áp dụng công thức trên ta có :
- Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \ ( \ left \ { \ begin { matrix } m-1 = 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } \ geq 0 \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow m = 1 \ )
- Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \ ( \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { matrix } 1 – m = 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } > 0 \ end { matrix } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { matrix } 1 – m > 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } < 0 \ end { matrix } \ right. \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow m \ in ( 0 ; 1 ) \ )
- Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì \ ( \ left \ { \ begin { matrix } m-1 = 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } > 0 \ end { matrix } \ right. \ ) ( vô lý ). Vậy không sống sót giá trị của \ ( m \ ) để phương trình có ba nghiệm phân biệt
- Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì \ ( \ left \ { \ begin { matrix } 1 – m > 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } > 0 \ \ \ frac { m-1 } { m } > 0 \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow m \ in ( – \ infty ; 0 ) \ )
Các bước giải phương trình trùng phương lớp 9
Để giải phương trình \ ( ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 \ ) với \ ( a \ neq 0 \ ) ta làm theo những bước sau đây :
- Bước 1: Đặt \ ( t = x ^ 2 \ ). Điều kiện \ ( t \ geq 0 \ )
- Bước 2:Giải phương trình bậc hai \ ( at ^ 2 + bt + c = 0 \ ) tìm ra \ ( t \ )
- Bước 3:Với mỗi giá trị của \ ( t \ ) thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo \ ( t \ geq 0 \ ), giải phương trình \ ( x ^ 2 = t \ )
- Bước 4:Kết luận nghiệm của phương trình khởi đầu
***Chú ý: Đối với các bài toán phương trình trùng phương lớp 9 thì ta cần thực hiện đầy đủ các bước trên, còn các bài toán phương trình trùng phương lớp 12 thì ta có thể bỏ đi bước thứ nhất để lời giải nhanh gọn
Ví dụ 1:
Giải phương trình \ ( x ^ 4 – 5 x ^ 2 + 4 = 0 \ )
Cách giải:
Đặt \ ( t = x ^ 2 \ ). Điều kiện \ ( t \ geq 0 \ )
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
\ ( t ^ 2-5 t + 4 = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow ( t-1 ) ( t-4 ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } t = 1 \ \ t = 4 \ end { array } \ right. \ )
Vậy nên :
\ ( \ left [ \ begin { array } { l } x ^ 2 = 1 \ \ x ^ 2 = 4 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ pm 1 \ \ x = \ pm 2 \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình đã cho có \ ( 4 \ ) nghiệm phân biệt : \ ( x = – 1 ; 1 ; – 2 ; 2 \ )
Một số phương trình trùng phương biến hóa \ ( x \ rightarrow \ frac { 1 } { x } \ ) hoặc những biểu thức chứa căn thì tiên phong ta cần tìm điều kiện kèm theo của phương trình trùng phương rồi mới triển khai giải
Ví dụ 2:
Giải phương trình :
\ ( \ frac { 1 } { x ^ 4 } – \ frac { 5 } { x ^ 2 } + 6 = 0 \ )
Cách giải:
Điều kiện : \ ( x \ neq 0 \ )
Phương trình đã cho tương tự với :
\ ( ( \ frac { 1 } { x ^ 2 } – 3 ) ( \ frac { 1 } { x ^ 2 } – 2 ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ frac { 1 } { x ^ 2 } = 3 \ \ \ frac { 1 } { x ^ 2 } = 2 \ end { array } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ frac { 1 } { x } = \ pm \ sqrt { 3 } \ \ \ frac { 1 } { x } = \ pm \ sqrt { 2 } \ end { array } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ pm \ frac { 1 } { \ sqrt { 3 } } \ \ x = \ pm \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } \ end { array } \ right. \ ) ( thỏa mãn nhu cầu )
Vậy phương trình đã cho có \ ( 4 \ ) nghiệm phân biệt \ ( x = – \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } ; – \ frac { 1 } { \ sqrt { 3 } } ; \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } } ; \ frac { 1 } { \ sqrt { 3 } } \ )
Giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương
Đây là một dạng phương trình trùng phương nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Để giải bài toán này thì ta cần nhắc lại một số ít kỹ năng và kiến thức về số phức
- Biểu thức dạng \ ( a + bi \ ) với \ ( a ; b \ in \ mathbb { R } \ ) và \ ( i ^ 2 = – 1 \ ) được gọi là một số phức với \ ( a \ ) là phần thực và \ ( b \ ) là phần ảo
- Phương trình bậc hai \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ) với \ ( Delta < 0 \ ) có hai nghiệm phức là \ ( \ frac { - b \ pm i \ sqrt { \ Delta } } { 2 a } \ )
Như vậy một phương trình bậc \ ( 4 \ ) trùng phương luôn có đủ \ ( 4 \ ) nghiệm. Đó hoàn toàn có thể là nghiệm thực, nghiệm kép và nghiệm phức
Để giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương, ta thực thi những bước sau đây :
- Bước 1:Đặt \ ( t = x ^ 2 \ ). Điều kiện \ ( t \ geq 0 \ )
- Bước 2:Giải phương trình bậc hai \ ( at ^ 2 + bt + c = 0 \ ) tìm ra \ ( t \ ) ( tìm cả nghiệm phức )
- Bước 3:Với mỗi giá trị của \ ( t [ / latex, giải phương trình [ latex ] x ^ 2 = t \ )
- Bước 4:Kết luận nghiệm của phương trình bắt đầu
Ví dụ 3:
Giải phương trình : \ ( x ^ 4 – x ^ 2-2 = 0 \ )
Cách giải:
Phương trình đã cho tương tự với :
\ ( ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 2-2 ) – 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x ^ 2 = – 1 \ \ x ^ 2 = 2 \ end { array } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = i \ \ x = \ pm \ sqrt { 2 } \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : \ ( – \ sqrt { 2 } ; \ sqrt { 2 } ; i \ )
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải phương trình trùng phương lớp 9. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề phương trình trùng phương lớp 9. Chúc bạn luôn học tốt!.
Xem thêm :
Tu khoa lien quan :
- phương trình trùng phương lớp 12
- giải bất phương trình trùng phương
- phương trình trùng phương nâng cao
- phương trình trùng phương nâng cao
- phương trình trùng hợp caprolactam
- các bước giải phương trình trùng phương
- điều kiện của phương trình trùng phương
- thuật toán giải phương trình trùng phương
- phương trình trùng phương vô nghiệm khi nào
1.5
/
5
(
2
bầu chọn
)
Please follow and like us :
Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập