Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
A. Phương pháp giải
Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:
+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất ; bậc hai của một hàm số lương giác ( chú ý quan tâm hoàn toàn có thể phải sử dụng những công thức cộng ; công thức nhân đôi ; công thức biến đổ tổng thành tích ; tích thành tổng để giải phương trình )
+ Bước 2 : Xét họ nghiệm trên khoảng ( a ; b ) để tìm những giá trị k nguyên thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải
Ta có : cos ( x – 1800 ) = – cosx và sin ( 900 – x ) = cosx
Do đó ; cos ( x – 1800 ) + 2 sin ( 900 – x )
⇒ – cosx + 2 cosx = 1
⇒ cosx = 1 ⇒ x = k. 3600
Với x ∈ ( 900 ; 3600 ) ta có :
900 < x < 3600 ⇒ 900 < k. 3600 < 3600
⇒ 1/4 < k < 1
⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn nhu cầu
Chọn A .
Ví dụ 2. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Lời giải
Ta có : cosx – sin2x = 0
⇒ cosx = sin 2 x ⇒ cosx = cos ( 900 – 2 x )
+ Ta tìm những nghiệm của phương trình trên đoạn [ 00 ; 3600 ]
* Với họ nghiệm : x = 300 + k. 1200 ta có :
00 ≤ 300 + k. 1200 ≤ 3600
⇒ – 300 ≤ k. 1200 ≤ 3300 ( – 1 ) / 4 ≤ k ≤ 11/4
Mà k nguyên nên k = 0 ; 1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là : 300 ; 1500 ; 2700
* Với họ nghiệm x = 900 – k. 3600 ta có :
00 ≤ 900 – k. 3600 ≤ 3600
⇒ – 900 ≤ – k. 3600 ≤ 2700
⇒ ( – 3 ) / 4 ≤ k ≤ 1/4
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó nghiệm phương trình là x = 900
⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm
Chọn A .
Ví dụ 3. Tìm các nghiệm của phương trình – 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700)
A. 1350
B. 1650
C. 2250
D. Tất cả sai
Lời giải
Ta có : – 2 tan2x + 4 tanx – 2 = 0
⇒ – 2 ( tanx – 1 ) 2 = 0 ⇒ tan x = 1
⇒ x = 450 + k. 1800
Ta tìm những nghiệm của phương trình trên khoảng ( 900 ; 2700 )
Ta có : 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450 + k. 1800 < 2700
⇒ 450 < k. 1800 < 2250
⇒ 1/4 < k < 5/4
Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó : nghiệm của phương trình là : x = 2250
Chọn C .
Ví dụ 4. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).
A. 900
B. 1800
C. 1650
D. 2700
Lời giải.
Ta có : sin2 2 x + 2 cos2 x = 0
⇒ 1 – cos2 2 x + 1 + cos2x = 0
⇒ – cos2 2 x + cos2x + 2 = 0
Với cos2x = – 1 ⇒ 2 x = 1800 + k. 3600
⇒ x = 900 + k. 1800
Ta xét những nghiệm của phương trình trên ( 0 ; 1800 )
⇒ 00 < 900 + k. 1800 < 1800
⇒ - 900 < k. 1800 < 900
⇒ ( - 1 ) / 2 < k < 50%
K nguyên nên k = 0. Khi đó ; x = 900
Chọn A .
Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π)
A. 15 π / 4
B. 13 π / 4
C. 5 π / 2
D. Đáp án khác
Lời giaỉ
Ta có ; cos4 x – sin4 x = 0
⇒ ( cos2 x – sin2 x ). ( cos2 x + sin2 x ) = 0
⇒ cos2x. 1 = 0 ⇒ cos2x = 0
⇒ 2 x = π / 2 + kπ ⇒ x = π / 4 + kπ / 2
Ta tìm những nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0 ; 2 π )
Ta có : 0 < x < 2 π nên 0 < π / 4 + kπ / 2 < 2 π
⇒ π / 4 < kπ / 2 < 7 π / 4 ⇒ 50% < k < 7/2
Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}
⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0 ; 2 π ) là : 3 π / 4 ; 5 π / 4 và 7 π / 4
⇒ Tổng những nghiệm là : 15 π / 4
Chọn A .
Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]
A. 0
B. 3
C. 4
D. 2
Lời giải
Ta có : cos0 x + sinx + 1 = 0
⇒ 1 – sin0 x + sinx + 1 = 0
⇒ – sin0 x + sinx + 2 = 0
⇒ sinx = – 1 ⇒ x = 2700 + k. 3600
+ Ta có : 00 ≤ 2700 + k. 3600 ≤ 7200
⇒ – 2700 ≤ k. 3600 ≤ 4500
⇒ ( – 3 ) / 4 ≤ k ≤ 5/4
Mà k nguyên nên k = 0 hoặc k = 1 .
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [ 00 ; 7200 ]
Chọn D
Ví dụ 7. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Ví dụ 8. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Ta có sin2 x – sinx = 0
+ với họ nghiệm x = kπ .
Ta có : 0 < kπ < 2 π
⇒ 0 < k < 2
Mà k nguyên nên k = 1
+ Với họ nghiệm x = π / 2 + k2π
Ta có ; 0 < π / 2 + k2π < 2 π
⇒ - π / 2 < k2π < 3 π / 2 ⇒ ( - 1 ) / 4 < k < 3/4
Mà k nguyên nên k = 0
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng ( 0 ; 2 π )
Chọn B .
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Câu 2:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]
A. 5
B. 3
C. 4
D. 6
Câu 3:Cho phương trình 3cot(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Câu 4:Cho phương trình: 
.Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?
A. 3
B. 5
C. 6
D. 4
Câu 5:Cho phương trình : tan4 x – 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
Câu 6:Cho phương trình 
. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 7:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8:Cho phương trình:
. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập