Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

Chuyên đề Toán lớp 11Với Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng chừng, đoạn Toán học lớp 11 với khá đầy đủ kim chỉ nan, giải pháp giải và bài tập có giải thuật cho tiết sẽ giúp học viên nắm được Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng chừng, đoạn .

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

+ Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần:

• Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho .
• Bước 2. Giải bất phương trình :
⇒ Các giá trị nguyên của k = … ⇒ những nghiệm của phương trình trong khoảng chừng ( đoạn ) đã cho .
+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện kèm theo ta cần :
• Bươc 1. Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình ( nếu có ) .
• Bước 2. Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 4. Kết hợp với điều kiện kèm theo xác lập ⇒ nghiệm của phương trình .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 1800 )

A. 450 ; 1350
B. 1350
C. 450
D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có ; tanx = 1 ⇔ tanx = 450
⇔ x = 450 + k. 1800 với k ∈ Z .
+ Để 00 < x < 1800 thì 00 < 450 + k. 1800 < 1800 ⇔ - 450 < k. 1800 < 1350 ⇔ ( - 45 ) / 180 < k < 135 / 180 Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó ; x = 450 Vậy phương trình tanx = 1 có một nghiệm thuộc khoảng chừng ( 00 ; 1800 ) Chọn C .

Ví dụ 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π]

A. 3 π / 4
B. π / 2
C. π / 4
D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : cosx = sinx ⇒ cos x = cos ( π / 2 – x )

⇔ x = π / 4 + kπ
Xét những nghiệm trên đoạn [ 0 ; π ] ta có :
0 < π / 4 + kπ < π ⇔ - π / 4 < kπ < 3 π / 4 ⇔ ( - 1 ) / 4 < k < 3/4 Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó ; x = π / 4 Chọn C .

Ví dụ 3. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) .

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Lời giải

Ta có : tan ( x + π / 3 ) = √ 3 ⇔ tan ( x + π / 3 ) = tan π / 3
⇒ x + π / 3 = π / 3 + kπ ⇒ x = kπ với k nguyên
Xét những nghiệm của phương trình trên khoảng chừng ( 0 ; 6 π ) thỏa mãn nhu cầu :
0 < kπ < 6 π < ⇒ 0 < k < 6 Do k nguyên nên k ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên ( 0 ; 6 π ) là 5 . Chọn C .

Ví dụ 4. Cho phương trình cos(x+ 300) = cos( x + 900). Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300]

A. 3
B. 2
C. 4
D. 5

Lời giải

Ta có : cos ( x + 300 ) = cos ( x + 900 )

Các nghiệm của phương trình trên đoạn [ 1800 ; 6300 ] thỏa mãn nhu cầu :
⇔ 1800 ≤ 300 + k1800 ≤ 6300
⇔ 1500 ≤ k1800 ≤ 6000 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3
Mà k nguyên nên k ∈ { 1 ; 2 ; 3 }
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [ 1800 ; 6300 ] là 3
Chọn A .

Ví dụ 5. Cho phương trình cot(x- 300) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( – 2700; 00)

A. 4
B. 3
C. 5
D. 2

Lời giải

Ta có : cot ( x – 300 ) = tanx ⇔ cot ( x – 300 ) = cot ( 900 – x )
⇔ x – 300 = 900 – x + k. 1800
⇔ 2 x = 1200 + k. 1800 ⇔ x = 600 + k. 1800
Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng chừng ( – 2700 ; 00 ) thỏa mãn nhu cầu :
– 2700 < 600 + k. 1800 < 00 ⇔ - 3300 < k. 1800 < - 600 ⇔ ( - 33 ) / 18 < k < ( - 1 ) / 3 Mà k nguyên nên k ∈ { - 2 ; - 1 } Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng chừng ( - 2700 ; 00 ) Chọn D .

Ví dụ 6. Cho phương trình: √3cos⁡x+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:

A.m < 1 - √ 3 . B.m > 1 + √ 3 .
C. 1 – √ 3 ≤ m ≤ 1 + √ 3 .
D. – √ 3 ≤ m ≤ √ 3 .
Hướng dẫn giải :
Chọn C .

Ta có: có nghiệm khi và chỉ khi :

Ta có:

Ví dụ 7. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]

A. π / 6
B. π / 3
C. x = 4 π / 3
D. x = 2 π / 3

Lời giải

Ta có : sin ( x + π / 6 ) = 50% ⇒ sin ( x + π / 6 ) = sin π / 6

+ Xét họ nghiệm x = k2π. Ta có :
0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 50%
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó ; nghiệm của phương trình là x = 0
+ Xét họ nghiệm x = 2 π / 3 + k2π. Ta có :
0 ≤ 2 π / 3 + k2π ≤ π ⇔ ( – 2 ) / 3 ≤ k ≤ 1/6
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó ; x = 2 π / 3
Vậy trên đoạn [ 0 ; π ] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 2 π / 3
⇒ Tổng hai nghiệm là 2 π / 3
Chọn D .

Ví dụ 8. Cho phương trình tan ( x+ 450 )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ;3600 )

A. 1750
B. 1950
C. 2150
D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : tan ( x + 450 ) = √ 3 ⇔ tan ( x + 450 ) = tan 600

⇔ x+ 450 =600 + k.1800

< x = 150 + k. 1800 Các nghiệm của phương trình trên khoảng chừng ( 900 ; 3600 ) thỏa mãn nhu cầu : 900 < 150 + k. 1800 < 3600 < 750 < k. 1800 < 3450 < 75/180 < k < 345 / 180 Mà k nguyên nên k = 1 Với k = 1 ta có x = 1950 Chọn B .

Ví dụ 9. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (00; a0) là 3. Tìm điều kiện của a.

A. a > 540
B. a > 360
C.a > 270
D. a > 630

Lời giải

Ta có : sinx = 0 ⇒ x = k. 1800 với k nguyên
Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng chừng ( 00 ; a0 )
00 < k. 1800 < a0 ⇒ 0 < k < a / 180 ( 1 ) Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng chừng ( 00 ; a0 ) nên k ∈ { 1 ; 2 ; 3 } ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : a / 180 > 3 ⇔ a > 540
Vậy điều kiện kèm theo của a là a > 540 .
Chọn A .

Ví dụ 10. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời Giải .
Chọn B .
Ta có tanx = tan ( 3 π / 11 ) ⇔ x = 3 π / 11 + kπ k ∈ Z
Do x ∈ ( π / 4 ; 2 π ) nên π / 4 < 3 π / 11 + kπ < 2 π ⇔ 1/4 < 3/11 + k < 2 ⇔ ( - 1 ) / 44 < k < 19/11 Mà k nguyên nên k ∈ { 0 ; 1 } Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo đề bài .

Ví dụ 11. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Lời giải

Chọn D
Ta có : sin ( x – π / 4 ) = ( – 1 ) / √ 2 ⇒ sin ( x – π / 4 ) = sin ⁡ ( – π / 4 )

+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5 π
⇒ π ≤ k2π ≤ 5 π ⇒ 50% ≤ x ≤ 5/2
Mà k nguyên nên k = 1 hoặc k = 2
⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
+ Xét họ nghiệm x = 3 π / 2 + k2π với π ≤ x ≤ 5 π
⇒ π ≤ 3 π / 2 + k2π ≤ 5 π ⇒ 50% ≤ x ≤ 5/2
Vì k nguyên nên k ∈ { 0 ; 1 } .
⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
Chọn D .

Ví dụ 12. Số nghiệm của phương trình: cos⁡(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:

A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .

Lời giải

Chọn D
Ta có : cos ⁡ ( x + π / 3 ) = √ 2/2 ⇒ cos ⁡ ( x + π / 3 ) = cos π / 4

+ Xét họ nghiệm : x = – π / 12 + k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2 π thì 0 ≤ – π / 12 + k2π ≤ 2 π
⇔ π / 12 ≤ k2π ≤ 25 π / 12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x = 23 π / 12
+ Xét họ nghiệm x = – 7 π / 12 + k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2 π thì 0 ≤ – 7 π / 12 + k2π ≤ 2 π
⇔ 7 π / 12 ≤ k2π ≤ 31 π / 12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x = 17 π / 12
Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2 π là : x = 23 π / 12 và x = 17 π / 12
Chọn B .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là

A. – 1 ≤ m ≤ 1 .
B.m ≤ 0 .
C.m ≥ – 2 .
D. – 2 ≤ m ≤ 0 .

Câu 2:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:

A.

B.

C.

D.

Câu 3:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên

A. 7 π / 18
B. 4 π / 18
C. 47 π / 8
D. 47 π / 18

Câu 4:Trong nửa khoảng, phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 5:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ?

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Câu 6:Cho phương trình sin(x+ 100) = cos( x- 200). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600)?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Câu 7:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 300) trên khoảng ( 600; 3600)

A. 0
B. 2
C. 3
D. 1

Câu 8: Cho phương trình: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ?

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ?

A. 5

B. 6
C. 7
D. 4 Lời giải

Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập