Tóm tắt lý thuyết
1. Sơ đồ các dạng toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
2. Sơ đồ các công thức định lượng của phương pháp tọa độ trong không gian
Bài tập minh họa
Bài tập 1:Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 0 ; – 3 ; – 1 ) và B ( – 4 ; 1 ; – 3 ) và mặt phẳng \ ( ( P. ) : x-2y+2z-7 = 0 \ ). a ) Viết phương trình mặt phẳng ( Q. ) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với ( P. ). b ) Lập phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB là đường kính .
Bạn đang xem: Công thức hình học 12 chương 3
Lời giải:a ) Ta có \ ( \ overrightarrow { AB } = ( – 4 ; 4 ; – 2 ), \ vec { n } = ( 1 ; – 2 ; 2 ) \ ) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P. ). \ ( \ left < \ overrightarrow { AB } ; \ vec { n } \ right > = ( 4 ; 6 ; 4 ) \ ) ( Q. ) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ; 0 ), ( Q. ) song song với AB và vuông góc với mặt phẳng ( P. ) suy ra mặt phẳng ( Q. ) nhận \ ( \ overrightarrow { { n_ { ( Q. ) } } } = \ frac { 1 } { 2 } \ left < { \ overrightarrow { AB } ; \ vec n } \ right > = ( 2 ; 3 ; 2 ) \ ) làm véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng ( Q. ) là : \ ( 2 x + 3 y + 2 z = 0. \ ) b. \ ( \ overrightarrow { AB } = ( – 4 ; 4 ; – 2 ) \ Rightarrow AB = \ sqrt { 16 + 16 + 4 } = 6 \ ) Trung điểm AB là I ( – 2 ; – 1 ; – 2 ). Mặt cầu ( S ) có tâm I, nửa đường kính \ ( R = \ frac { AB } { 2 } = 3 \ Rightarrow ( S ) : ( x + 2 ) ^ 2 + ( y + 1 ) ^ 2 + ( z + 2 ) ^ 2 = 9 \ ) .Bài tập 2: Cho mặt cầu \ ( ( S ) : x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2 x + 6 y + 4 z – 22 = 0 \ ) và \ ( ( \ alpha ) : x + 2 y – 2 z – 8 = 0 \ ). CRM : \ ( ( \ alpha ) \ ) cắt ( S ) theo một đường tròn. Xác định tâm, nửa đường kính đường tròn đó .Lời giải:
Nhận xét:Tâm đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(I;R) và \((\alpha )\) là hình chiếu của I trên \((\alpha )\) với \(r^2+d^2(I;(\alpha ))=R^2\).
Xem thêm : Top 5 Tập Đoàn Nước Ngoài Tại Nước Ta ( 2021 ) ❇ ️ Top Vozz ❇ ️
\((S): (x-1)^2+(y+3)^2+(z+2)^2=36\)\ ( ( S ) : ( x-1 ) ^ 2 + ( y + 3 ) ^ 2 + ( z + 2 ) ^ 2 = 36 \ )
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;-2), bán kính R = 6.\(d(I;(\alpha ))=\frac{\left | 1-6+4-8 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{9}{3}=3Vậy \((\alpha )\) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
Xác định tâm của H của đường tròn giao tuyếnXác định tâm của H của đường tròn giao tuyếnTa có H là hình chiếu của I trên \ ( ( \ alpha ) \ ). Đường thẳng \ ( \ Delta \ ) đi qua I và vuông góc với \ ( ( \ alpha ) \ ), tức là nhận \ ( \ vec { n_ \ alpha } = ( 1 ; 2 ; – 2 ) \ ) làm một VTCP có phương trình là : \ ( \ Delta \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + t \ \ y = – 3 + 2 t \ \ z = – 2-2 t \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( H = \ Delta \ cap ( \ alpha ) \ ) \ ( H \ in \ Delta \ Rightarrow H ( 1 + t ; – 3 + 2 t ; – 2-2 t ) \ ) \ ( H \ in ( \ alpha ) \ Rightarrow 1 + t + 2 ( – 3 + 2 t ) – 2 ( – 2-2 t ) – 8 = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow 9 t – 9 = 0 \ Leftrightarrow t = 1 \ ) Suy ra tọa độ H ( 2 ; – 1 ; – 4 ) .Bán kính đường trình giao tuyến : \ ( r ^ 2 = R ^ 2 – IH ^ 2 = 36-9 = 27. \ )Vậy \ ( r = 3 \ sqrt { 3 }. \ )Bài tập 3:Cho đường thẳng \ ( d : \ frac { x-12 } { 4 } = \ frac { y-9 } { 3 } = \ frac { z-1 } { 1 } \ ) và \ ( ( P. ) : 3 x + 5 y – z-2 = 0 \ ) a ) Tìm tọa độ giao điểm A của d và ( P. ). b ) Viết phương trình ( Q. ) đi qua M0 ( 1 ; 2 ; – 1 ) và vuông góc với d. c ) Tìm tọa độ B ’ đối xứng với B ( 1 ; 0 ; – 1 ) qua ( P. ) .Lời giải:
a) \(A=d\cap (P)\)
\ ( A \ in d \ left \ { \ begin { matrix } x = 12 + 4 t \ \ y = 9 + 3 t \ \ z = 1 + t \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow A ( 12 + 4 t ; 9 + 3 t ; 1 + t ) \ ) \ ( A \ in ( P. ) \ ) nên \ ( 3 ( 12 + 4 t ) + 5 ( 9 + 3 t ) – ( 1 + t ) – 2 = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow 26 t + 78 t = 0 \ Leftrightarrow t = – 3 \ ) Vậy tọa độ là A ( 0 ; 0 ; – 2 ). b ) \ ( ( Q. ) \ perp d \ ) nên ( Q. ) nhận \ ( \ vec { u_d } = ( 4 ; 3 ; 1 ) \ ) làm một VTPT.Phương trình mặt phẳng ( Q. ) là \ ( ( Q. ) : 4 ( x-1 ) + 3 ( y-2 ) + 1 ( z + 1 ) = 0 \ ) hay \ ( 4 x + 3 y + z-9 = 0. \ ) c ) Viết phương trình \ ( \ Delta \ ) đi qua B và vuông góc ( P. ) \ ( \ Delta \ ) \ ( \ perp \ ) ( P. ) nên \ ( \ Delta \ ) nhận \ ( \ vec { n_P } = ( 3 ; 5 ; – 1 ) \ ) làm một VTCP.Phương trình tham số của \ ( \ Delta : \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + 3 t \ \ y = 5 t \ \ z = – 1 – t \ end { matrix } \ right. \ )H là hình chiếu của B trên ( P. ) \ ( H = \ Delta \ cap ( P. ) \ ) \ ( H \ in \ Delta \ Rightarrow H ( 1 + 3 t ; 5 t ; – 1 – t ) \ ) \ ( H \ in ( P. ) \ ) nên \ ( 3 ( 1 + 3 t ) + 25 t + 1 + t-2 = 0 \ )
\(\Leftrightarrow 35t+2=0\)\(\Leftrightarrow t=-\frac{2}{35}\)\(H\left ( \frac{29}{35};-\frac{2}{7};-\frac{33}{35} \right )\)H là trung điểm BB’ nên: \(\left\{\begin{matrix} x_{B’}=2x_H-x_B=\frac{23}{35}\\ \\ y_{B’}=2y_H-y_B=-\frac{4}{7}\\ \\ z_{B’}=2z_H-z_B=\frac{2}{35} \end{matrix}\right.\)Vậy tọa độ \(B’ \left ( \frac{23}{35};-\frac{4}{7};\frac{2}{35} \right ).\)
Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập