Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0, với 1 số bất kỳ, phương trình quy về phương trình bậc 2.
Bài viết này Gia sư Tiến Bộ hướng dẫn các em cách so sánh nghiệm của PT bậc 2 với 1 số ít, đây là một dạng toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 với các bài toán có phương trình bậc hai .Trước tiên các em cần phải ghi nhớ hệ thức Vi ét cho phương trình bậc 2 để vận dụng xác lập dấu của các nghiệm .
Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai
Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai : có nghiệm thì .
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :
Bạn đang đọc: So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số
– Có 2 nghiệm dương là: 0;S<0." class="ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format" height="17" src="https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55de3566f8aa73b2876e0efec5c612f6_l3.png" title="Rendered by QuickLaTeX.com" width="158"/>
– Có 2 nghiệm trái dấu là: (Khi đó hiển nhiên So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0
Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số ít cho trước, trong đó có nhiều bài toán yên cầu tìm điều kiện kèm theo để phương trình bậc 2 : có tối thiểu một nghiệm không âm .
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:
(1) .
Cách 1: khi đó phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: .
Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm. Điều kiện đó là:
Cách 2: ; .
-Nếu , thì phương trình (1) tồn tại nghiệm không âm.
– Nếu 0″ class=”ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format” height=”14″ src=”https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02b68f7091e9e4c7bfe70d6ab46f2b60_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”45″/>. Giải điều kiện P>0; S>0 được m>2 và m<0 không xảy ra.
KL :
Cách 3: Giải phương trình (1) :
Ta có: .
Do nên ta phải có .
Ví dụ 2: Cho phương trình: (2). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
GiảiPhương trình ( 2 ) có 2 nghiệm dương :
So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ
Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số ít bất kể ta hoàn toàn có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0 :
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2:
(1) .
Cách 1: Đặt y=x-2 thay vào phương trình (1) ta được:
(2).
Ta cần tìm m để phương trình ( 2 ) có tối thiểu một nghiệm không âm .
0\\S<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m+3>0\\-(m+4)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>\frac{{-3}}{2}\\m>-4\end{array} \right.\Leftrightarrow m>\frac{{-3}}{2}” class=”ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format” height=”65″ src=”https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c1a4e54f85a6005ab817b9bca30bbb3_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”456″/>.
Vậy với thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2: Giải phương trình (1) ta được: .
Ta thấy .
Ta có
– Nếu thì (3) có vế phải âm, vế trái dương nên (3) đúng.
– Nếu
Ta được .
Gộp và là giá trị cần tìm của m .
Ví dụ 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:
(1).
Giải :
Cách 1: Đặt thay vào (1) ta được :
(2)
Cần tìm m để phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện kèm theo :
KL: Với thì phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt, tức là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .
Cách 2: Xét phương trình (1). Giải điều kiện:
Giải (2) được: .
Giải (3): -4<0 luôn đúng .
Vậy ta được – 1 < .
Cách 3: Giải phương trình (1) : .
Nếu thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
; . Do nên điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 là:
Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.
(1)
Giải :
Đặt .
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình: có ít nhất một nghiệm không âm ,
Theo tác dụng ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là :
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình :
(1) chỉ có 1 phần tử
Giải :
(1) (*)
Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện . Đặt
x – m = y. Khi đó phương trình (2) trở thành 2 (3).
Cần tìm m để chỉ có một nghiệm của phương trình (3) thoả mãn .
Có 3 trường hợp xảy ra :
a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm:
b) Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:
c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
.
KL: hoặc -1 .
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
(1)
Giải: (1). Đặt
khi đó (1) trở thành (2)
Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x .
Do đó: có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Do đó ở (2) ta phải có:
KL:
Bài tập tự giải
Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình:
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình:
có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.
Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình:
a ) Có 4 thành phần .
b) Có 3 phần tử.
c ) Có 2 thành phần .d ) Có 1 thành phần. Đại số 9 – Tags: nghiệm, phương trình, phương trình bậc 2, so sánh nghiệm
Source: https://camnangbep.com
Category: Học tập